第200章 混沌动力学
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而阿蒂亚-辛格指标定理的出现,则是现代数学统一性的极佳例子。
它的出现,不仅在内容上,沟通了分析与拓扑学两大领域,而且在研究方法上,涉及道分析、拓扑、代数几何、偏微分方程、多复变函数等许多核心数学分支。
而且阿蒂亚-辛格指标定理,在物理学上的“杨-米尔斯理论”中获得了重要应用。
因而阿蒂亚-辛格指标定理,被誉为现代数学的最大成就之一。
阿蒂亚-辛格指标定理这样涉及面如此之广的问题,毫无疑问,是超级困难的。
如果是在进来算学碑之前,哪怕是给十个程理,他也不可能靠自己推导出这条定理。哪怕是他已经实现知道这个定理的最终形式,也不可能从头把这条定理推到出来。
但是,在经过这近3000层的问题洗礼,还有算学碑里神秘资讯的淬炼后,程理的数学水平已经有了一个恐怖的飞跃。
所以,在他自己都不敢想象中,他仅仅用了20多分钟就把阿蒂亚-辛格指标定理给推导出来了。
在解决了阿蒂亚-辛格指标定理后。
程理就来到了第2996层,而这一层的问题,也同样艰难,这是关于“如何解孤立子方程”的一道问题。
对非线性数学问题越来越重视,也是20世纪下半叶数学发展的一个特点。
在20世纪上半叶,线性偏微分方程获得了很大进展。但是与之相比,非线性方程的研究却困难重重。直到数学家们开始对“孤立子”方程的研究后,非线性方程领域才得到了重大的突破和发展。
这一切起源于,一种名为“孤立波”现象的研究。
所为的孤立波,就是指船只突然停止时激起的水波。
最早1834年,英国工程师拉塞尔,就对这种水波有所研究,他将这种水波形容为“一个滚圆而平滑,轮廓分明的巨大孤立波峰,以很快的速度离开船头,向前运动着。在行进过程中,它的形状和速度并没有明显的改变……”拉塞尔在做出这样的描述时,还抱怨当时的数学家,并未提供能在数学上对这种孤立波描述的工具。
直到1895年,荷兰数学家科特维格才给出了孤立波现象的数学模型,一个非线性偏微分方程,这个方程也被成为KdV方程。
KdV方程虽然被提出,但是以当时的数学水平却无法解出这个方程。
于是关于KdV方程的研究在半个多世纪里,就这样停滞不前。
不过,问题并没有就这样结束。
随着物理学的发展,人们对各种波的研究加深后。
很多人又开始对孤立波进行了进一步研究。
然后,人们发现:两个不同的孤立波在碰撞后,仍表现为两个形状不变的孤立波,然后在碰撞交错后,仿佛什么事情都没发生一样,继续朝着自己原来路线前进着。
于是,人们把这种两个孤立波相撞后保持不变的现象,称之为“孤立子”
KdV方程于是就被成为了孤立子方程。
孤立子问题一出现后,就马上引起了人们的广泛。
因为人们发现,孤立子方程可以描写许多自然现象的数学物理基本方程。
最后经过许多数学家的努力后,才发展出一套“散射反演方法”,成功解出孤立子方程。
程理也正是用“散射反演方法”解答了第2996层的问题。
孤立子在非线性波理论、基本粒子理论等领域有着广泛而重要的作用。
它的发现是数学导致重大科学发现的一个例证。它表明,数学作为现代科学方法的三大环节(理论、实验、数学)之一,已经并将进一步在当代基础理论、应用技术等许多方面发挥重要作用。
现在人们已经发现很多在应用中十分重要的非线性方程,如正弦-戈登方程、非线性薛定谔方程等都具有这种孤立子解。
人们还发现在等离子体光纤通讯中也有孤立子现象,科学家们还认为,神经细胞轴突上传导的冲动、木星上的红斑等都可以看做是孤立子。
所以,孤立子方程,也是通过数学研究而导致重大科学发现的一个典型例证。
在孤立子方程问题之后,程理在第2997层,遇到了著名的“分形问题”。
20世纪数学,在几何概念上有两次飞跃,都与空间维度相关。
一个是,从有限维道无穷维的飞跃。
另外一个就是,从整数维到分数维的飞跃。
而整数维道分数维的飞跃,发生在20世纪下半叶,起源于法国数学家蒙德尔布罗1967年发表的《英国海岸线有多长?》一文中。
这实际上,就是分形问题研究的开始。
海岸线问题,是一个实际的地理测量问题,科学家在实际考察中发现,不同国家出版的百科全书中,对英国海岸线长度,竟然有不同的长度记载,而且误差竟然超过20%!
然后,数学家蒙德尔布罗从数学上研究这一个问题,认为这种超常的误差,与海岸线形状的不规则有关。
由于这种不规则,在不同测量尺度下将得出不同的测量结果。
最后蒙德尔布罗采用“柯克曲线”作为思考海岸线问题的数学模型。
所为的柯克曲线,就是以一个平面等边三角形的每条边的中央三分之一为底,向外侧作一小等边三角形,然后抹去这小三角形的底边,就可以得到一条新的闭折线。
然后,在新曲线的每条边上重复刚才的作图,就可以这样无限的继续画下去。
这样的一条曲线,就被成为了分形曲线。
这样的描述,也许不太好想象和理解。
但在自然界中,有许多分形的例子。
比如雪花,就是一个典型的分形图案,可以将上面的描述想象出就是雪花图案的描绘过程。
柯克曲线只是具有分数维的几何图形的一个例子。
蒙德尔布罗1977年正式将具有分数维的图形称为“分形”。
并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何。
而正是随后对分形几何的研究,让人们发现了“混沌”现象,从而建立了“混沌动力学”这一全新领域。
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